分形与混沌之-迭代函数系统(IFS)

迭代函数系统是一种用来创建分形图案的算法，它所创建的分形图永远是绝对自相似的。下面我们直接通过绘制一种蕨类植物的叶子来说明迭代函数系统的算法：

有下面4个线性函数将二维平面上的坐标进行线性映射变换：

x(n+1）= 0; y(n+1) = 0.16 * y(n)
x(n+1) = 0.2 * x(n) − 0.26 * y(n); y(n+1) = 0.23 * x(n) + 0.22 * y(n) + 1.6
x(n+1) = −0.15 * x(n) + 0.28 * y(n); y(n+1) = 0.26 * x(n) + 0.24 * y(n) + 0.44
x(n+1) = 0.85 * x(n) + 0.04 * y(n); y(n+1) = −0.04 * x(n) + 0.85 * y(n) + 1.6

所谓迭代函数是指将函数的输出再次当作输入进行迭代计算，因此上面公式都是通过坐标 x(n),y(n) 计算变换后的坐标 x(n+1),y(n+1)。
现在的问题是有4个迭代函数，迭代时选择哪个函数进行计算呢？
我们为每个函数指定一个概率值，它们依次为1%, 7%, 7%和85%。选择迭代函数时使用通过每个函数的概率随机选择一个函数进行迭代。
上面的例子中，第四个函数被选择迭代的概率最高。

最后我们从坐标原点(0,0)开始迭代，将每次迭代所得到的坐标绘制成图，就得到了叶子的分形图案。下面的程序演示这一计算过程：

# -*- coding: utf-8 -*-
# by whyx 2016/6
 
import numpy as np
import pylab as pl
from math import log
import time
from matplotlib import cm
 
# 蕨类植物叶子的迭代函数和其概率值
eq1 = np.array([[0,0,0],[0,0.16,0]])
p1 = 0.01
 
eq2 = np.array([[0.2,-0.26,0],[0.23,0.22,1.6]])
p2 = 0.07
 
eq3 = np.array([[-0.15, 0.28, 0],[0.26,0.24,0.44]])
p3 = 0.07
 
eq4 = np.array([[0.85, 0.04, 0],[-0.04, 0.85, 1.6]])
p4 = 0.85
 
 
def ifs(p, eq, init, n):
#     进行函数迭代
#  p: 每个函数的选择概率列表
# eq: 迭代函数列表
# init: 迭代初始点
# n: 迭代次数
#返回值： 每次迭代所得的X坐标数组， Y坐标数组， 计算所用的函数下标
 
    # 迭代向量的初始化
    pos = np.ones(3, dtype=np.float)
    pos[:2] = init
 
    # 通过函数概率，计算函数的选择序列
    p = np.add.accumulate(p)
    rands = np.random.rand(n)
    select = np.ones(n, dtype=np.int)*(n-1)
    for i, x in enumerate(p[::-1]):
        select[rands<x] = len(p)-i-1
 
    # 结果的初始化
    result = np.zeros((n,2), dtype=np.float)
    c = np.zeros(n, dtype=np.float)
 
    for i in xrange(n):
        eqidx = select[i]   # 所选的函数下标
        tmp = np.dot(eq[eqidx], pos) # 进行迭代
        pos[:2] = tmp # 更新迭代向量
 
       # 保存结果
        result[i] = tmp
        c[i] = eqidx
 
    return result[:,0], result[:, 1], c
 
start = time.clock()
 
p1, p2, p3, p4 = 0.01, 0.07, 0.07, 0.85
#p1, p2, p3, p4 = 0.11, 0.17, 0.17, 0.55
 
x, y, c = ifs([p1,p2,p3,p4],[eq1,eq2,eq3,eq4], [0,0], 100000)
print time.clock() - start
pl.figure(figsize=(6,6))
pl.subplot(121)
pl.scatter(x, y, s=1, c="g", marker="s", linewidths=0)
 
pl.axis("equal")
pl.axis("off")
pl.subplot(122)
pl.scatter(x, y, s=1,c = c, marker="s", linewidths=0)
pl.axis("equal")
pl.axis("off")
pl.subplots_adjust(left=0,right=1,bottom=0,top=1,wspace=0,hspace=0)
pl.gcf().patch.set_facecolor("white")
pl.show()