course:python:ifs

分形与混沌之-迭代函数系统(IFS)

  • 迭代函数系统是一种用来创建分形图案的算法,它所创建的分形图永远是绝对自相似的。下面我们直 接通过绘制一种蕨类植物的叶子来说明迭代函数系统的算法:
  • 有下面4个线性函数将二维平面上的坐标进行线性映射变换:
  • x(n+1)= 0; y(n+1) = 0.16 * y(n)
  • x(n+1) = 0.2 * x(n) − 0.26 * y(n); y(n+1) = 0.23 * x(n) + 0.22 * y(n) + 1.6
  • x(n+1) = −0.15 * x(n) + 0.28 * y(n); y(n+1) = 0.26 * x(n) + 0.24 * y(n) + 0.44
  • x(n+1) = 0.85 * x(n) + 0.04 * y(n); y(n+1) = −0.04 * x(n) + 0.85 * y(n) + 1.6
  • 所谓迭代函数是指将函数的输出再次当作输入进行迭代计算,因此上面公式都是通过坐标 x(n),y(n) 计 算变换后的坐标 x(n+1),y(n+1)。
  • 现在的问题是有4个迭代函数,迭代时选择哪个函数进行计算呢?
  • 我们为每个函数指定一个概率值,它们依次为1%, 7%, 7%和85%。选择迭代函数时使用通过每个函数的 概率随机选择一个函数进行迭代。
  • 上面的例子中,第四个函数被选择迭代的概率最高。

最后我们从坐标原点(0,0)开始迭代,将每次迭代所得到的坐标绘制成图,就得到了叶子的分形图案。 下面的程序演示这一计算过程:

# -*- coding: utf-8 -*-
# by whyx 2016/6
 
import numpy as np
import pylab as pl
from math import log
import time
from matplotlib import cm
 
# 蕨类植物叶子的迭代函数和其概率值
eq1 = np.array([[0,0,0],[0,0.16,0]])
p1 = 0.01
 
eq2 = np.array([[0.2,-0.26,0],[0.23,0.22,1.6]])
p2 = 0.07
 
eq3 = np.array([[-0.15, 0.28, 0],[0.26,0.24,0.44]])
p3 = 0.07
 
eq4 = np.array([[0.85, 0.04, 0],[-0.04, 0.85, 1.6]])
p4 = 0.85
 
 
def ifs(p, eq, init, n):
#     进行函数迭代
#  p: 每个函数的选择概率列表
# eq: 迭代函数列表
# init: 迭代初始点
# n: 迭代次数
#返回值: 每次迭代所得的X坐标数组, Y坐标数组, 计算所用的函数下标
 
    # 迭代向量的初始化
    pos = np.ones(3, dtype=np.float)
    pos[:2] = init
 
    # 通过函数概率,计算函数的选择序列
    p = np.add.accumulate(p)
    rands = np.random.rand(n)
    select = np.ones(n, dtype=np.int)*(n-1)
    for i, x in enumerate(p[::-1]):
        select[rands<x] = len(p)-i-1
 
    # 结果的初始化
    result = np.zeros((n,2), dtype=np.float)
    c = np.zeros(n, dtype=np.float)
 
    for i in xrange(n):
        eqidx = select[i]   # 所选的函数下标
        tmp = np.dot(eq[eqidx], pos) # 进行迭代
        pos[:2] = tmp # 更新迭代向量
 
       # 保存结果
        result[i] = tmp
        c[i] = eqidx
 
    return result[:,0], result[:, 1], c
 
start = time.clock()
 
p1, p2, p3, p4 = 0.01, 0.07, 0.07, 0.85
#p1, p2, p3, p4 = 0.11, 0.17, 0.17, 0.55
 
x, y, c = ifs([p1,p2,p3,p4],[eq1,eq2,eq3,eq4], [0,0], 100000)
print time.clock() - start
pl.figure(figsize=(6,6))
pl.subplot(121)
pl.scatter(x, y, s=1, c="g", marker="s", linewidths=0)
 
pl.axis("equal")
pl.axis("off")
pl.subplot(122)
pl.scatter(x, y, s=1,c = c, marker="s", linewidths=0)
pl.axis("equal")
pl.axis("off")
pl.subplots_adjust(left=0,right=1,bottom=0,top=1,wspace=0,hspace=0)
pl.gcf().patch.set_facecolor("white")
pl.show()
  • course/python/ifs.txt
  • 最后更改: 2016/06/23 13:57
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