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拉格朗日力学
哈密顿力学
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变分原理初步
变分
- N维空间的路线及其变化的表述
- 位形空间中 预设路线+一个标度变量&N个变形函数=变化路线
- 未变路线和变化路线在不同坐标不同位置时的差异全部归并到变形函数中
- 坐标的变分
- Def：变化路线的坐标和未变路线的坐标之差别
- 坐标的变分，坐标变分的导数
- 微分变分可交换次序，即坐标导数在变化路线上的值和其在未变路线的值之差等于变化路线上的坐标和未变路线坐标之差的导数
- 另一种说法是，对每个给定的β值，变化路线上的值等于未变路线上的值加相应的变分
- 坐标函数的变分
- Def:函数在变化路线上的值与它在未变路线上的值之差
- Taylor展开取一阶近似可得一阶变分的具体形式
- 函数的线积分的变分
- Taylor展开，凑全微分，利用两端点确定
- 得到结果形式与拉格朗日方程类似
寻找极值路径
- 欧拉-拉格朗日定理
- Def:线积分取极值的充要条件是积分路线是以下E-L方程的解
- 思考：如果被积函数显含β，欧拉-拉格朗日定理会有什么变化？——不会有变化
- Example1 光学中的极值路线——Fermat原理
- 光线在折射率连续变化的区域中不再沿直线传播，而是向折射率增大的方向弯曲偏折
- 最速降线问题（brachristochrone）
约束条件下的变分
- 约束条件下E-L定理证明的思路
- * 先证必要性
- 先将约束写成完全独立的形式，利用矩阵工具求解出受限坐标与自由坐标的关系
- 写出无约束的路径积分，注意无法确定Γk等于0（因为所有坐标的变分并不相互独立）
- 利用上述用相互独立约束条件求出的受限坐标与自由坐标的关系，将坐标的变分变换为自由坐标的变分
- 此时出现可定义Lagrange乘子的项，自由坐标满足约束下的E-L方程
- 通过Lagrange乘子定义反解约束坐标也满足约束下的E-L方程
- 必要性证毕
- * 充分性证明
- 略，过于显然（由δI可直接看出）
- 消去受限坐标
- 求解关系、代入消去
- 注意选取坐标要反映体系的对称性
- 即使约束函数是尽可能少的坐标变量的函数
坐标参数法
回顾
- 坐标参数法的一般解题步骤
- 选取能使参数方程单调的参数β（否则参数方程可能变成多值函数）
- 写出相应的路径积分
- 得到Eular-Lagrange方程
- 确定β，使得E-L方程尽量简单（比如曲线弧长）
- 坐标参数法的相关公式与方程
- 注意被参数化的坐标本身不为一阶导的变量
- 坐标参数化为一般参数化的特殊形式
- 第二形式的E-L方程
哈密顿原理
诺特定理
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