一维双原子链的晶格振动演示

熊子扬 17307110150
  1. 简介
  2. 图示
  3. 结论
  4. 参考文献

1 简介

一维双原子链是最简单的复式晶格模型,每个原胞有2个不同的原子P和Q,平衡时相邻原子举例为a,P和Q的质量为m和M,如图所示。[1]

设原子链由N个原胞组成。对每个原子进行编号,P原子用偶数表示,Q原子用奇数表示。只考虑最近邻相互作用(恢复力系数为β)和简谐近似,原子偏离格点的位移直接有一般形式:

其中参数角频率ω和波数q满足色散关系:

其中“+”号表示光学波,“-”号表示声学波。P和Q原子的振幅相应满足:

考虑到周期性边界条件,q的取值为:


2 图示

图示为小范围内晶格振动的大致情况,以及该种情况在色散关系中的定位。

取N = 4000。通过按钮选择声学波或光学波,通过滑块调节Q和P原子的质量比以及第一布里渊区内q的方向和大小,并控制画面的开始或停止。


当前类型:
质量比[M/m]:110   当前值:5
波数[q]:-π/2a+π/2a   当前值:0.008/a
开始/停止:

晶格振动情况
图中红色为P原子,质量为m;蓝色为Q原子,质量为M;黄色为相邻两个原子的质心。
实际振动为纵波,为便于展示此处转化成横波。振幅经过处理(保持P原子振幅恒定),仅展示相对振幅。
为了让图像便于观察,对时间进行了缩放。光学波的时间流速是声学波时间流速的0.02倍。

色散关系
ω+为光学波,ω-为声学波。
橙色圆圈表示当前参数所处位置。



3 结论

观察图示随参数的变化规律可见:

  1. 光学波频率远高于声学波。
  2. 光学波在长波下频率较高,频率随波长变化相对不大;声学波在长波下频率极低,频率随波长减小而增大,比较明显。
  3. 长波近似下,声学波两种原子振动几乎一致,可以视作连续介质;光学波两种原子振动相反,相邻原子质心位置几乎不变。

4 参考文献

[1] 黄昆, 《固体物理学》