布朗运动（*新开设）

本实验为新开设实验。共有两套仪器。

本实验的细节设计、实验讲义的准备主要由22级同学谢昀城、张世范完成。 本实验中使用的毛细管等各种材料得到谭鹏老师课题组的大力支持。

布朗运动是奠定分子运动论的重要实验。

1827年，植物学家布朗在显微镜下观察到花粉微粒在做无规则的运动。1877年，基于分子运动学说，液体分子热运动碰撞花粉微粒这一解释被提出。

但是由于实验技术的限制，人们无法直接观察到分子与原子。因此，对于分子原子论的争执甚嚣尘上，从科学领域到哲学领域都引起广泛讨论，到20世纪初到达顶峰。甚至著名物理学家玻尔兹曼的自杀与这场旷日持久的争执也有关系。

1905年，爱因斯坦与郎之万从分子热运动模型出发，各自独立给出了布朗微粒扩散距离与时间的关系，即爱因斯坦-斯托克斯关系。1908年，佩兰通过实验验证了这一关系，确立了分子运动论和分子/原子论的正确性。

直到几十年后，随着科学技术的进步，人们才终于实现了原子大小尺度的空间分辨率，真正看到了原子和分子。

在溶液分子的不断碰撞下，布朗微粒也在做无规则的热运动。这种热运动可以用无规则行走（random walk）这一简单理论模型出发加以描述。

在热运动的过程中，微粒逐渐远离其初始位置，如果我们跟踪大量的微粒并取平均可以发现，虽然这些微粒的平均位移为0（因为往不同方向运动的概率是一样的）， 但它们离开初始位置的距离是随时间不断增加的。我们可以从扩散模型（也可以理解为概率的扩散）出发来理解这一现象。

可以证明（见参考资料），微粒离开初始位置的距离平方与时间满足线性关系，其比例为4D，其中D为扩散系数。即：

注：系数4取决于我们跟踪的自由度。当我们考察的距离是指在二维平面内的距离时（这正是大部分实验的情况，因为我们用显微镜观察时，极大的放大倍率导致很小的景深和很薄的焦平面，因此我们只跟踪其在焦平面的运动，测量的是微粒位移在2维平面的投影。如果我们有办法测量布朗微粒在三维空间中的运动距离，则这个系数是6.

因此，我们可以通过测量距离与时间来做拟合，得到扩散系数D。理论证明，布朗颗粒扩散的快慢取决于两种机制的竞争：首先，由能均分定理，在高频率碰撞下，布朗颗粒也具有与溶液分子相同的平均动能。其次，在运动过程中，微粒受到粘滞力的影响，其大小取决于斯托克斯公式。因此，我们有：

其中d为颗粒的直径。严格的证明与系数的得出见参考文献。在粘滞系数，直径已知，温度可测量的情况下，我们可以拟合出玻尔兹曼系数K_B。

本实验将让同学们自己调制含有布朗微粒（微米大小的聚苯乙烯或二氧化硅微球）的溶液，并在显微镜下观察到布朗运动。

通过软件对布朗运动微粒进行跟踪和分析，得出距离-时间关系，验证爱因斯坦-斯托克斯公式，并拟合出玻尔兹曼系数K_B。

本实验并不是用显微镜看一下小微粒运动就能完成的实验。为了得到较好的拟合结果，对实验的设计和实验材料都提出了较高的要求。

首先，由于布朗运动是无规则的热运动，因此需要大量的数据来做统计平均。因此，我们采用大量半径相同的微球，来制作微球溶液。

微球的半径为微米级，因此放大镜的放大倍数很大，这就导致了很小的景深。因此我们希望布朗微粒在接近一个平面内运动。同时，我们需要避免液体出现定向流动。因此，我们利用毛细现象让溶液进入半径很小的毛细管。

微球的自重会使其沉降在毛细管底部附近，若配置时引入杂质则很容易使微球由于吸附作用而被吸附在管壁上，不再发生布朗运动。因此本实验中采用去离子水来调配溶液，并用热熔胶封住毛细管两端，防止由于蒸发导致的液体定向流动。

去离子水制作的溶液只能保质一周左右的时间，因此每周实验时需要同学们调制新的溶液。样本如下图：

注意：毛细管价格昂贵，请节约使用！

观察到微粒的布朗运动后，我们用S-viewer软件以一定间隔拍摄大量照片，然后用ImageJ 软件跟踪颗粒得到微粒的轨迹数据。通过统计得出距离-时间关系，来进行拟合，以得到玻尔兹曼系数。观察到的布朗微粒如下图：

溶液、样本的准备和数据的跟踪和处理，请参考谢昀城、张世范同学编写的《实验讲义》。

• 第一-二周熟悉显微镜的使用，尝试调制溶液，观察到布朗运动。学习跟踪软件的使用，学会提取出微粒路径的方法，学习合理分析路径，正确统计数据的基本知识，回家处理数据。推荐同学们携带U盘
• 后续实验因为微粒溶液已经变质了，需要再次配置。
• 第二、三周拓展，分析实验中的系统误差，设计实验验证，并尝试尽量减小误差。尝试不同大小微粒进行对比实验。也欢迎同学提出自己的设计。
• 由于本实验为新开设实验，具体安排会根据同学们的进度和遇到的困难做相应的调整，以上为初步计划。
• 建议同学们携带u盘或移动硬盘以便拷贝实验数据

• 实验资料打包.zip实验资料打包下载。包含数据处理示例文件，补充材料等 2024.3.9更新。
• 实验讲义v3.docx.zip实验讲义
• 数据处理示例.zip数据处理打包（包含下面几个文件和示例程序）2024.3.9更新
• 数据处理示例.pdf数据处理讲解 2024.3.9更新
• 数据处理示例.html.zip数据处理示例html文件 2024.3.9更新
• imagej追踪颗粒教程教程_.pdf如何使用imageJ软件追踪颗粒
• video2frames.py.zip（新添加）从录像中逐帧提取图片的python程序(需安装opencv-python库) 2024.3.19更新
• 补充材料.zip各种阅读材料，如对布朗运动的深入讨论，爱因斯坦公式的导出，实验中系统误差的分析等文献。对于实验的误差分析，鼓励同学们根据自己的实验结果进一步查询相关文献
• 环境问题及解决方案.pdf对于数据处理时可能遇到的问题及解决方法的汇总 2024.3.9更新

在运行“数据处理示例.ipynb”的时候，可能遇到

TypeError: sum() got an unexpected keyword argument 'level'

报错。这是因为trackpy库的源码和pandas库2.0以后的版本不兼容，详情见github issue。作者已经注意到了相应问题，但修改时间未知。

目前的解决方案是将pandas库版本回退到1.4.4，可以尝试在命令行运行

pip install pandas==1.4.4 

，顺利运行即可解决。

如未能顺利运行，可能是系统缺少MSVC依赖。你可以下载（庞大达12G的Visual C++套件），也可以下载python的依赖管理器Miniconda（几十兆）（一个有用的简介可以见：(*环境问题及解决方案.pdf 理辩社第四次培训_python环境的搭建_计算机第0课.pptx以及1-安装环境.pptx），国内清华源2024-3-9链接：miniconda清华源（windows）。按照简介安装anaconda后在conda prompt内运行

conda install -c conda-forge pandas==1.4.4

，即可解决依赖问题。

PS：如果对以上的名词很陌生，你可能需要从零开始学习python2020 — 夏轩哲 2024/03/09 16:20

也可以参考环境问题及解决方案.pdf，直接对trackpy的源代码进行修正 — 谢昀城 2024/03/09 18:16

本实验为新开设实验，同学们如有问题可在此讨论；对本实验的任何意见也可以在此提出，或者将相关意见发至邮箱22307110070@m.fudan.edu.cn