弹性模量的研究

材料在弹性限度内应力同应变的比值是度量物体受力时形变大小的重要参量。正应力同线应变的比值称杨氏模量，剪应力同剪应变的比值称剪切弹性模量，简称切变模量。

材料受外力作用时必然发生形变，其内部胁强（单位面积上受力大小）和胁变（即相对形变）的比值称为弹性模量，这是衡量材料受力后形变大小的参数之一，是设计各种工程结构时选用材料的主要依据之一。

本实验测量钢丝的纵向弹性模量（也称杨氏模量）。实验中涉及较多长度量的测量，应根据不同测量对象，选择不同的测量仪器。如读数显微镜配以CCD成象系统测量钢丝微小的伸长量。

杨氏模量是固体材料的重要物性参数之一，在材料的实际应用中是个非常重要数据。

测量杨氏模量的常用方法有弯曲法、伸长法和动力学法等几种，测量过程中一般都需要用到多种长度/位移测量工具，数据处理（包括不确定度估算）的过程也很有代表性，是一个很经典的实验。

请在准备预习报告前观看。

【物理实验（下）弹性模量测量1】 https://www.bilibili.com/video/BV1qs4y1h7gk/?share_source=copy_web&vd_source=25260e7e3b69357310410618bc8a20aa

【物理实验（下）弹性模量测量2】 https://www.bilibili.com/video/BV1pT411U7wg/?share_source=copy_web&vd_source=25260e7e3b69357310410618bc8a20aa

【物理实验（下）弹性模量测量3】 https://www.bilibili.com/video/BV12D4y137aq/?share_source=copy_web&vd_source=25260e7e3b69357310410618bc8a20aa

1. 掌握伸长法和弯曲法测杨氏模量、扭转法测切变模量的原理和实验方法；
2. 掌握卷尺、千分尺、游标卡尺和读数显微镜等长度测量仪器的使用方法；
3. 掌握不确定度的计算。
4. 掌握数据处理方法及实验误差分析。

1. 什么是杨氏模量？什么是切变模量？他们之间有什么联系？
2. 什么是扭摆？什么是转动惯量？如何从周期计算得到切变模量？
3. 伸长法的实验原理？使用条件？
4. 弯曲法的实验原理？适用条件？
5. 扭摆法的实验原理？使用条件？
6. 垂直轴定理？适用条件？

1. 伸长法：
   1. 砝码最多可以增加几块？有何依据？
   2. 夹具处的小螺钉有何用处？对实验有何影响？
   3. 为什么需要加、减砝码取平均？
2. 弯曲法：
   1. 如何放置横梁才能满足实验模型中的条件？比如，是否关于刀口对称，砝码是否关于横梁对称等
   2. 如何消除螺距误差？
   3. 如果实验装置的对称性不满足要求，会造成怎样的误差？设计实验并讨论模型应该如何修正。
3. 扭摆法：
   1. 如何放置重物才能满足扭摆模型中的条件？
   2. 扭摆的转动角度范围多少，可以认为满足模型的适用条件？
   3. 观察摆角随周期数增加如何衰减？应该如何设计实验测量周期？
   4. 哪个重物可以用于验证垂直轴定理？存在哪些近似？如何修正？

• 并未考虑细丝直径与是否加载重物的关系。讨论其对实验结果的影响，从原理和实验上给出必要的支持。

详见教材中的实验4－3

根据虎克定律，固体材料的伸缩形变正比于拉压外力的大小，其比例系数即为材料的杨氏模量。测出材料在不同拉压外力作用下的伸缩形变，即可求出其杨氏模量。

设某一弹性固体的一个长方形体积元，它的底面固定，如图1所示。

在它顶面A上作用着一个与平面平行且均匀分布的切力F，在这个力的作用下，两个侧面将转过一定角度，通常这样一种弹性形变为切变。在切变较小的情况下，作用在单位面积上的切力F/A与切变角成正比

其中A为受切力的面积，G是一个物质常数，α 称切变模量，单位是。

• 了解固体材料杨氏模量的定义和计算公式（并尝试推导该公式），以及相关物理量的测量方法；
• 什么是切应力？什么是切向模量？
• 分析被测对象的受力情况（建议考察半段被测对象的受力情况），说明为什么弯曲法可以测杨氏模量？
• 如何正确使用读数显微镜？什么是视差？什么是螺距误差？建议在实验过程中估测一下我们所用的读数显微镜的螺距误差是多大！
• 游标卡尺、千分尺该如何正确使用？如何正确读数？它们的最小分度分别是多少？
• 本实验中用到的几种长度测量工具的测量不确定度分别是多少？
• 本实验的测量误差有哪些主要来源？哪个量的测量不确定度对实验结果的影响最大？
• 如何设计测量过程，使结果尽量准确？

各测量仪器的不确定度限值：

• 游标卡尺：a ＝ 0.02 mm
• 千分尺 a = 0.004 mm
• 卷尺 a = 1 mm
• 读数显微镜 a = 0.02 mm

• FD-HY-MT型霍尔位置传感器杨氏模量实验仪——复旦天欣仪器厂
• 千分尺（0–25mm）——上海量具刀具厂
• 游标卡尺 （0–150mm）—上海量具刀具厂
• 不锈钢直尺 （0–300mm）—上海量具刀具厂
• 黄铜片和人造骨（PEEK）–复旦天欣仪器厂
• 读数显微镜 a = 0.004mm
• 照明灯

FD-TM-B型切变模量与转动惯量实验仪、电子天平、千分尺、游标卡尺等。

• 第一次：伸长法测量康铜丝的杨氏模量、弯曲法测量黄铜（或钢）横梁的杨氏模量
• 第二次：测量钢丝的切变模量

1. 仪器的调节。
   • 铅直调节的标准：小圆柱R不能碰触钳形平台Q；在不接触小圆柱R的前提下，旋转钳形平台Q上的螺丝，可轻松旋入刻槽中。
   • 放上CCD后，按照95页步骤（b）再次调节读数显微镜，使显示器上的图像清晰。
2. 观测细丝的伸长量变化。
   • 在托盘上加一块砝码后，观测显示器上读数的变化，估计实验的测量范围；调节读数显微镜的高度，确保能观测到所有实验数据。
   • 注意避免范性形变。
   • 采用加砝码和减砝码取平均的方法，测量金属丝伸长量与拉力的关系。先加后减和先减后加，二种方法有没有差别？
3. 测量金属丝长度L、直径d（为什么d要测10次？测量位置如何选取？砝码放几个？）。
4. 对数据作线性拟合，计算杨氏模量E及其不确定度。

1. 测量横梁上两刀口间的距离、横梁的宽度和厚度；
2. 对称地将横梁放置在两刀口上，将铜挂件放到横梁上两刀口的中间位置；
3. 在铜挂件上放置一个砝码（每块10g）以后，调节读数显微镜，读取初始位置；
4. 依次加载砝码，用读数显微镜读出相应的位置坐标；
5. 逐次减少砝码，再记录一组砝码质量与横梁形变之间的关系；
6. 用线性拟合求结果并计算不确定度。

• 利用不放置和水平放置圆环，在扭转角度为270度至360度范围内，测量周期并计算切变模量。
• 分析实验的不确定度。
• 利用切变模量的计算值，测量方柱状刚体和圆柱状刚体的周期，计算其转动惯量，并与理论计算值进行比较。
• 验证垂直轴定理。

1. 研究不同扭转角度所对应的周期，试分析扭转角度对实验结果的影响；
2. 测量负载不对称时的杨氏模量
   1. 移动被测材料，使其一端靠近支点，而负载仍放在两个支点的中间位置；
   2. 被测材料仍对称放置，负载位置偏离两个支点的中间位置；
3. 用手机拍照的方法，探索利用照片像素测量标记线位置的读数方法（下面是一个例子）
   

• 简要叙述本实验的基本原理。
• 记录实验中出现的各种实验现象，对其进行分析、讨论。
• 实验数据的处理，及对结果的分析、讨论。

• 还有什么方法可以测量本实验中的ΔZ?
• 本实验中杨氏模量测量误差的传递公式是什么？主要测量误差有哪些？请估算各测量量的不确定度。
• 最小二乘法拟合求结果是如何实现的？
• 材料杨氏模量的大小和形状有关吗？跟材料的哪些性质有关？
• 随着拉伸外力的增大，材料的形变会经历哪些阶段？在本实验中最需要保证的实验条件是什么？为什么要有限制地增加砝码？
• 什么是应力？对固体材料，有哪几种基本应力？材料有哪几类基本形变？什么是体积模量？什么是泊松系数？为什么泊松系数一定大于2？
• 伸长法和动力学法分别是如何测量材料的杨氏模量的？请讨论三种方法分别适用于什么样的被测对象？各有什么优缺点？

1. wiki百科上的“杨氏模量”条目 — 乐永康 2007/09/27 23:33
2. 沈元华、陆申龙 基础物理实验 高等教育出版社 2003
3. FD-TM-B型 实验仪器说明书（但其中公式1有误，以本页面上公式 F/A=G*alpha 为准）；FD-TM-B型 实验仪器说明书（可以直接下载）
4. 杨氏弹性模量测量实验综述，物理与工程，2020
5. 杨氏模量的历史
6. 一些金属的杨氏模量和屈服强度
7. 部分金属及合金的材料性能
8. 伸长法杨氏模量
9. 弯曲法实验原理（节选自普通物理教材）