材料受外力作用时必然发生形变，其内部胁强（单位面积上受力大小）和胁变（即相对形变）的比值称为弹性模量，这是衡量材料受力后形变大小的参数之一，是设计各种工程结构时选用材料的主要依据之一。

本实验测量钢丝的纵向弹性模量（也称杨氏模量）。实验中涉及较多长度量的测量，应根据不同测量对象，选择不同的测量仪器。如读数显微镜配以CCD成象系统测量钢丝微小的伸长量。

杨氏模量是固体材料的重要物性参数之一，在材料的实际应用中是个非常重要数据。

测量杨氏模量的常用方法有弯曲法、伸长法和动力学法等几种，测量过程中一般都需要用到多种长度/位移测量工具，数据处理（包括不确定度估算）的过程也很有代表性，是一个很经典的实验。

本实验旨在让学生了解杨氏模量的物理含义，能熟练使用几种常用的长度测量工具，掌握弯曲法测杨氏模量的实验方法和相关的数据处理（包括不确定度估算）。

1. 掌握伸长法和弯曲法测杨氏模量的原理和实验方法；
2. 掌握卷尺、千分尺、游标卡尺和读数显微镜等长度测量仪器的使用方法；
3. 掌握不确定度的计算。
4. 掌握数据处理方法及实验误差分析。

详见教材中的实验4－3

根据虎克定律，固体材料的伸缩形变正比于拉压外力的大小，其比例系数即为材料的杨氏模量。测出材料在不同拉压外力作用下的伸缩形变，即可求出其杨氏模量。

• 伸长法测量杨氏模量实验装置如图1所示。

各测量仪器的不确定度限值：

千分尺 a = 0.004mm

卷尺 a = 1mm

读数显微镜 a = 0.02mm

• 弯曲法测量杨氏模量实验装置如图2所示。

• FD-HY-MT型霍尔位置传感器杨氏模量实验仪——复旦天欣仪器厂
• 千分尺（0–25mm）——上海量具刀具厂
• 游标卡尺 （0–150mm）—上海量具刀具厂
• 不锈钢直尺 （0–300mm）—上海量具刀具厂
• 黄铜片和人造骨（PEEK）–复旦天欣仪器厂
• 读数显微镜 a = 0.004mm
• 照明灯

一、伸长法测量康铜丝的杨氏模量

1. 仪器的调节。
   • 铅直调节的标准：小圆柱R不能碰触钳形平台Q；在不接触小圆柱R的前提下，旋转钳形平台Q上的螺丝，可轻松旋入刻槽中。
   • 放上CCD后，按照95页步骤（b）再次调节读数显微镜，使显示器上的图像清晰。
2. 观测细丝的伸长量变化。
   • 在托盘上加一块砝码后，观测显示器上读数的变化，估计实验的测量范围；调节读数显微镜的高度，确保能观测到所有实验数据。
   • 观测细丝的受力极限，避免出现范性形变。（大约为1600g左右。）
   • 为使砝码托平稳，可在金属丝下端先加一块200g砝码，此时显示器上显示的横刻线读数为Y1，记录其数值。然后在砝码托盘上逐次加200g砝码，对应的读数为Yi (i=2,3,…5,6)。再将所加的砝码逐个减去。记下对应的读数为Yiˊ(i=1,2,…5)，并将两对应读数Yi与Yiˊ求平均。（也可以先加6块砝码，逐个减少砝码测Yi，再逐个增加砝码测Yiˊ。先加后减和先减后加，二种方法哪种更好些？）
3. 测量金属丝长度L、直径d（为什么d要测10次？测量时应放置多少砝码？）。
4. 对Y的平均值和m（或砝码个数n）作直线拟合，求斜率及其不确定度。
5. 计算杨氏模量E及其不确定度。

二、弯曲法测量黄铜（或钢）横梁的杨氏模量

1. 用米尺测量横梁上两刀口间的距离;
2. 用游标卡尺、千分尺分别横梁的宽度和厚度；
3. 对称地将衡梁放置在两刀口上，将铜挂件放到横梁上两刀口的中间位置；
4. 在铜挂件上放置一个砝码以后，调节读数显微镜，读取初始位置；
5. 依次加载砝码，用读数显微镜读出相应的位置坐标；
6. 若时间充分，在使用了所有砝码以后，逐次减少砝码，再记录一组砝码质量与横梁形变之间的关系；
7. 用线性拟合求结果并计算不确定度。

选做内容：测量负载不对称时的杨氏模量

1. 移动被测材料，使其一端靠近支点，而负载仍放在两个支点的中间位置；
2. 被测材料仍对称放置，负载位置偏离两个支点的中间位置；

• 了解固体材料杨氏模量的定义和计算公式（并尝试推导该公式），以及相关物理量的测量方法；
• 什么是切应力？什么是切向模量？
• 分析被测对象的受力情况（建议考察半段被测对象的受力情况），说明为什么弯曲法可以测杨氏模量？
• 如何正确使用读数显微镜？什么是视差？什么是螺距误差？建议在实验过程中估测一下我们所用的读数显微镜的螺距误差是多大！
• 游标卡尺、千分尺该如何正确使用？如何正确读数？它们的最小分度分别是多少？
• 本实验中用到的几种长度测量工具的测量不确定度分别是多少？
• 本实验的测量误差有哪些主要来源？哪个量的测量不确定度对实验结果的影响最大？
• 如何设计测量过程，使结果尽量准确？

• 还有什么方法可以测量本实验中的ΔZ?
• 本实验中杨氏模量测量误差的传递公式是什么？主要测量误差有哪些？请估算各测量量的不确定度。
• 最小二乘法拟合求结果是如何实现的？
• 材料杨氏模量的大小和形状有关吗？跟材料的哪些性质有关？
• 随着拉伸外力的增大，材料的形变会经历哪些阶段？在本实验中最需要保证的实验条件是什么？为什么要有限制地增加砝码？
• 什么是应力？对固体材料，有哪几种基本应力？材料有哪几类基本形变？什么是体积模量？什么是泊松系数？为什么泊松系数一定大于2？
• 伸长法和动力学法分别是如何测量材料的杨氏模量的？请讨论三种方法分别适用于什么样的被测对象？各有什么优缺点？

1. wiki百科上的“杨氏模量”条目 — 乐永康 2007/09/27 23:33

• 沈元华、陆申龙 基础物理实验 高等教育出版社 2003
• 实验补充讲义

那个仪器好像我们做实验的时候没有用到的

那台电子设备使用于选做实验的内容的。

请问老师逐差法的不确定读估计是不是和算uA的一样啊？我的理解是m不考虑uA和uB1，Z用uA的算法？—07300180024@fudan.edu.cn

本实验中，m的不确定度不考虑，ΔZ的不确定度由两部分合成：对相同的Δm，我们在实验中测得四到五个ΔZ，可以求出u_A，然后和读数显微镜的u_B2合成。

请问老师测刀口间距离是不是测一次就可以了？我们的大多数实验中用直尺测量的数据是不是都只需测一次？在用游标卡尺测量筒的内径、外径时为什么不取最大值而是取平均值？

实验中，两刀口之间的距离也要求多次测量。筒的内径、外径本身可能又不均匀性，且单次测量总会有一定的不确定度。所以用平均值更合理。
实际上，用某一测量工具测量某个物理量时，该单次测量或多次测量要考虑多方面的因素：一方面是测量方法和测量工具决定的相对不确定度；另一方面，被测量量本身的不均匀性（如黏度测量实验中盛油的量筒的直径）；如果同一实验中有多个相似的量的测量（如多个长度测量），为了让同学们练习不同的不确定的计算方法，也会考虑尽量将单次测量和多次测量都能用刀。 — 乐永康 2007/12/09 15:55

老师，我想问一下，黄铜片如果发生了比较明显的形变情况下（即肉眼课看出弯曲了），那么对弯曲法测量的结果是否有比较大的影响？—09300190036

影响肯定有，只要黄铜片没有损伤，影响不大。实验结果的误差和求得的不确定度在同一量级上。 — Chen Yuanjie 2010/10/08 12:46

我建议增加一个思考题，自行推导一下弯曲法测杨氏模量的公式，因为如果把铜片当做铜丝来做受力分析处理，计算杨氏模量的话会出现公式中a为一次方，而delta z 为三次方的情况，与书上的公式差别很大，具体推导出书上公式的过程还是很复杂的。可以参考网址http://wenku.baidu.com/view/014d0d2b3169a4517723a317.html的推导。—09300190011 张佳骏 2010.10.17

我有个问题，伸长法的拟合结果求出了拟合直线的k、b的不确定度，但是如何求出E的不确定度呢？如果依然沿用公式中各个量的不确定度传递的方法，不就是相当于没有用直线拟合的方法吗？还是根据直线斜率的不确定度来推出E的不确定度呢？谢谢~ — 谢欣 2010/10/25 22:42
如果把k代入到公式里，然后将k看做一个变量，用不确定度的传递来计算E的不确定度应该可以。

如果使用拟合结果中k的Standard Error作为不确定度，计算得到的E的不确定度可能会小于使用逐差法计算得到的不确定度。是否可以理解为Standard Error是“统计相关的不确定度”，未考虑仪器本身的不确定度（u_B2）？如果是这样，应该怎么处理？把Standard Error与u_B2进行合成吗？ — 王天一 2013/12/16 00:43

另外问个问题，由于砝码的磨损、氧化等原因致使砝码的质量很不均衡，导致在测量Y随砝码个数变化时导致的误差很大，是不是重新调配一下砝码？——09300190042 2010.11.22

请问 本实验中3种材料的杨氏模量参考值是多少呢？似乎和外网上查到的不太一样的样子 — 姚文婕 2013/09/30 10:37

——欢迎大家互相交流！ — 乐永康 2009/10/21 09:50

　　杨氏模量的测量实验是普通物理实验课中非常经典的一个实验，也是各个高校几乎都开的实验。随着现代技术的发展，在近年的教学改革中，不同的学校尝试着用各种新的测量杨氏模量的具体实验方法以改进实验精度，改善实验教学效果。

　　这个实验之所以被看作是经典实验，以我的理解，主要有以下几方面的原因：

1. 杨氏模量测量实验中，主要是各种不同量级的长度（形变）量的测量，在实验设计中首先要确定每个量合适的测量工具，以便每个量有相似的测量精度，并保证最后的实验结果的实验精度；掌握其中的选择依据，了解每种测量工具的测量原理和使用方法，合理估算每次测量过程的不确定度，是该实验训练的基本内容之一；
2. 每一种测量仪器都有优点，也会带来误差：如用读数显微镜测量横梁的形变，用它可以比较精确地测量横梁的弯曲形变，但也会带来视差、螺距误差等误差来源，如何在测量中减小视差，避免螺距误差对实验结果的影响，则需要学生在实验中按照实验讲义和仪器说明的提示，认真仔细地操作，考验学生的耐心和实验技能，也是非常好的锻炼的过程；
3. 如果同学可以自己尝试一下杨氏模量的计算公式的推导，就能够明白各个公式是否近似解，具体的适用条件是什么？在某个具体条件下的误差限值又是多少？如此，也就可以明白，譬如对弯曲法为什么不能使用太重的砝码。
4. 现在的实验中，常用CCD来代替读数显微镜或光杠杆法来测量横梁或金属丝的形变，用CCD来测量可以带来一些便利，也避免了原来方法中相关的误差来源，但又会有新的误差来源（新的误差来源是什么？该怎么校准CCD的测量结果？），所以，不能以为用了新的方法或新的仪器，就万事大吉了。
5. 本实验的数据处理可以用线性拟合法或者逐差法来进行，可以讨论两种方法的优缺点，而不确定度估算几乎包含了所有类型函数的不确定度传递公式，也是很好的复习。