应用数学复习

这部分略过，熟悉基本的集合语言。用集合的定义证明一些集合等式、包含关系等

对于无限集，最基础的区别是可数集与不可数集。
势是用来比较无限集大小的概念。若两个集合A、B间能建立一个一一到上映射： f:A right B ，则称这两个集合等势。
与自然数集 bbN 的集合称为可数集，偶数集、有理数集都是可数集。本质上只要给出这个集合中元素数数的规则就可以了，即能够按照这个规则不漏的数出集合中所有元素（不一定不重）。
实数集与自然数集不等势。可以用对角线方法证明，实数集是不可数集：
假设实数集可数，把[0,1]间的所有实数用十进制小数表出，若为有限小数则在后面添零，然后按次序排成下表
$tabular{000000}{000000}{a_1 a_2 a_3 a_4 …… b_1 b_2 b_3 b_4 …… c_1 c_2 c_3 c_4 …… d_1 d_2 d_3 d_4 ……}$ 取这样一个实数，他的第一位不等于 a_1 ，第二位不等于 b_2 ，……那么在这张表中，这个实数不能排在任何一个位置
因此实数集 bbR 与自然数集不等势。
可以证明 bbR 与 bbR^2 等势，只需将实数对 (x,y) 表成十进制小数 (0.a_1a_2a_3……,0.b_1b_2b_3……) ，然后将其映为 0.a_1b_1a_2b_2…… 即可。类似的，可以得到 bbR^n 与实数集等势。

引入拓扑空间后，可以把连续函数的概念推广。定义在欧式空间上的连续函数将开集映到开集，因此可以先将开集的概念推广，再在此基础上推广连续函数的概念。
拓扑空间可以看做是给出了一个开集的定义
定义：X是一个非空间，X上的一个拓扑 tau 是X的一个子集族，满足三个条件：
1.X和 varnothing 在 tau 中。
2.子集族中任意个集合的并集仍在子集族中： $bigcup{A}{}{X_i}$ 在 tau 中。
3.子集族中有限多个集合的交集仍在子集族中： $bigcap{A}{}{X_i}$ 在 tau 中。
拓扑 tau 中的集合称为开集。有了开集的概念，就可以推广连续函数的概念。不再详述
一类重要的拓扑空间是度量空间。同样，度量也是对一般欧式空间中度量的推广，一个度量 d:X*X right bbR 满足：
1.正定性： d(x,y)>=0
2.对称性： d(x,y)=d(y,x)
3.三角不等式: d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y)

有了度量，可以定义抽象的球形领域，不再详述。由所有球形领域组成的子集族是一个拓扑，成为度量拓扑。

具有自相似结构的图形是分形的一种。自相似分形的维数这样定义，假设分形具有均匀分布的质量，将分形的线度放大为 lambda 倍，若质量变为原来的倍，则分型的维数 $d_f={ln{K}}/{ln{lambda}}$

略

ref:Algebra, Artin, Chapter 10
群G的群表示是一个抽象群与矩阵群之间的同态关系： R:G right GL_n 。在这里，占中心地位的一个量是一个群元对应矩阵元的迹，称为群元的特征标 chi 。因为这个量在同一共轭类中都相等，并且在线性空间基变换时也保持不变。
另一个更方便的观点是把群元视为作用在抽象线性空间上的线性算子，一个群表示的维数就是这个线性空间的维数。
当把群元视作线性空间上的线性算子时，很自然的考虑线性空间中是否存在群作用下不变的子空间，即 gW=W,forall g in G 。如果存在这样的子空间，则称该表示为可约表示。若不存在这样的子空间，则称该表示为不可约表示。下面要证明的群的unitary representation将指出如果一个表示是可约的，那么这个群在线性空间上的作用可以被分解成在若干子空间上的作用。
Unitary representation
Unitary representation是指群元代表的线性算子均为Unitary operator,即保持内积不变的算子： <Tv,Tw> =<v,w> 。下面证明，从普通的内积出发，利用平均化方法（离散群中常用的方法）可以得到一个新的“内积”，在该内积下，成立。
证明：令 <v,w> =1/delim{|}{G}{|} sum{G}{}{(gv,gw)} 显然，这满足 <hv,hw> =1/delim{|}{G}{|} sum{G}{}{(hgv,hgw)}=<v,w> 并且是对称的、正定的
而这个形式form对应的矩阵为 $A=1/delim{|}{G}{|} sum{G}{}{R^*_g R_g}$ 为了把这个形式变换为内积的形式，只需要变换基即可；由线性代数理论可知，存在矩阵P，使得 P^* A P=I 。
在这组基下， X=Px
因而 $P r_g x=R_g X=R_g Px doubleright r_g=P^{-1} R_g P, r^*_g r_g=P^* R^*_g (P^{-1})^* P^{-1}R_g P = P^*R^*_g A R_g P = P^* A P=I$
即在这组基下，群表示是Unitary的。
在上述意义下定义的内积空间里，群元作为线性算子都是U的，因而若存在不变子空间，则不变子空间的正交补也是不变子空间。从而可以把群作用分解为若干子空间上的作用。即可约表示均可表示为不可约表示的直和。
特征标
特征标是群表示论的核心，它是区分可约表示与不可约表示的重要判据，也是对可约表示进行分解的重要工具。特征标有如下基本性质：
1. chi(1)= d ，d为表示的维数。
2.同一共轭类的群元，特征标相同。
3.k阶群元的特征标必为 z^k=1 的单位根。
4.两个群表示的直和的特征标为特征标的和： chi = chi_1 + chi_2
5.同构的表示有相同的特征标
定义一个特征标之间的内积运算： <chi, chi prime> =1/delim{|}{G}{|} sum{G}{}{overline{chi(g)}chi prime (g)}
引入这个内积运算后，可以给出群表示论的中心定理：
对于有限群G来说
1.正交关系：不可约表示的特征标满足正交归一关系，即对两个不可约表示 rho_i, rho_j 来说， $<chi_i,chi_j> =delta_{ij}$ 。（这里将彼此同构的表示视作同一个表示）
2.不相同的不可约表示的个数与共轭类的个数相等.
3.设 rho_1,rho_2,...rho_r 为全部的不可约表示，则 rho_i 的维数 d_i 满足： $delim{|}{G}{|}=sum{i=1}{r}{d^2_i}$
有了中心定理，就可以做特征标的分解： $chi= sum{i}{}{n_i chi_i} doubleright n_i=<chi,chi_i>$ 。
中心定理的证明中，1、2需要用到shur's lemma和类函数空间的正交基，3只需要借助regular representation即可。
下面就先看regular representation 和与之相关的 permutation representation，其中重排表示是计算特征标表时重要的工具，可以大大简化运算。
regular representation
把群作用在一个集合 S=(s_1,s_2,...s_n) 上，则每个群元相当于一个重排： $gs_i=s_{pi}$ 。若将 s_i 视作抽象线性空间的一组基，则在这个线性空间上可以得到一个群表示，并且元素g的特征标 chi(g) 等于在g作用下保持不变的基矢量的个数。这个表示称为一个重排表示permutation representation
重排表示都是可约表示，因为显然存在矢量 $sum{i=1}{n}{e_i}$ 在每个群元作用下都不变，因此这个线性空间中存在一个一维G-不变子空间。这也就意味着这个表示的特征标总可以分解为 $chi=chi_1+sum{i}{}{chi_i}$ 。
例如对于 S_4 ，其共轭类为{e}{(1,2),3,4}{(1,2)(3,4)}{(1,2,3),4}{(1,2,3,4)}（对置换群，分类的方法是看一个重排中包含多少个k-循环），将其作用到 (e_1,e_2,e_3,e_4) 上，立即可得 chi=(4,2,0,1,0) ，由此可得 chi=chi_1 + (3,1,-1,0,-1) ，其中后一项满足内积为1的判据因而为不可约表示，于是立即可得一个不可约表示的特征标为(3,1,-1,0,-1)。
而regular representation，则是把群作用到自身，把每个群元看做抽象线性空间的基，这样这个表示的特征标为 chi=(delim{|}{G}{|},0,0.....) 。将这个表示分解为不可约表示的直和，就可得到：
$<chi,chi_i> =d_i doubleright delim{|}{G}{|}=<chi,chi> =sum{i}{}{d^2_i}$ 轻松得到了中心定理3的证明。
schur's lemma
用线性映射很容易做。。。但是比较烦，我不想写了=.=

ref:The Geometry of physics, T.Frankel, Chapter 15
李群是连续群，用一组参数来表征群元。经典群一般指矩阵群，如 SO_n,SU_n 等。对于矩阵群，可以将其视作 $R^{n^2}$ 上的微分流形G。通过定义一个映射到自身的函数 g:G right G ， g(h)=gh ，可以得到流形上任一点切空间与单位元处切空间的切向量的关系：设一条路径 h(t):[0,1] right G 满足 $h(0)=e,{d h(t)}/{d t}|_{t=0}=X_e$ ，则通过映射，得到一条新的路径 gh(t): [0,1] right G 满足 $gh(0)=g,{d gh(t)}/{d t}|_{t=0}= g X_e=X_g$ ，即 X_g= g X_e 。因此，若已知单位元处切空间的基 X_1,X_2 .....X_n ，则可以得到任一点切空间的基。
单参数子群
通过建立一个 bbR 实数加法群与之间的同态，并要求这个同态是可微的: g(t):bbR right G,g(0)=e ,可以得到一个单参数子群。则由定义 g(t+s)=g(t)g(s)=g(s)g(t) doubleright g prime (t+s)=g(s) g prime (t) ，令t=0，可得： g prime (s)=g(s)g prime (0) ，方程具有形式解： g(t)=exp(t g prime (0)) ，其中 $exp(A)=I+A+A^2/{2!}+.....$ 。在该级数收敛时，这确实是方程的解。
由于单参数子群的群元可以由单位元切空间中的切向量通过指数映射生成： g=exp(t X_e) ，因而称单位元上的切向量 X_e 为无穷小生成元。对于紧群而言（矩阵元有界），任意一个群元都可以通过单位元切向量的指数映射生成。由此可知，紧群的独立参数的个数与切空间的维数相同。
简单介绍一下exponential map的基本性质：
1. det(exp(A)) =exp(tr A) 证明从略=.=
2. $(exp(A))^{-1} =exp(-A)$
3. (exp(A))^T =exp(A^T)
根据以上几条性质，可以比较方便的得到一些常见矩阵群的无穷小生成元。
例如：
1. SO_n 中的群元满足 gg^T =e ，因而对任意路径，都有 g prime (0)+g prime (0)^T =0 ，因此其无穷小生成元为反对称矩阵；并且由于 SO_n 行列式为1，最小生成元的迹为0；综上，最小生成元为反对称矩阵，取反对称矩阵的一组基即可。
2. SU_n 中的群元满足 gg^* =e ，因而对任意路径都有 g prime (0)+g prime (0)^* =0 ，因此其无穷小生成元满足 X_e + X^*_e =0 ，且应满足迹为零的要求；取满足这个要求的矩阵的一组基即可。
3. O(p,q) 群，群元满足 g O(p,q)g^T =e ，因而对任意路径都有 g prime (0)O(p,q)+O(p,q)g prime (0)^T =0 ，利用级数展开易验证 exp(tA)O(p,q)exp(tA^T)=I ；因此只需取满足这个要求的矩阵的一组基即可。
单位元切空间在李群中具有重要地位。它又被称为群G的李代数，因其满足李代数的公理。=.=这里需要用到流形上的李导数，老子不懂=.=
[X_R,X_S]=X_T C^T_RS ，其中 C^T_RS 称为结构常数。李括号满足Jacobi恒等式。
无穷小算符 这部分内容没找到好的references。
将李群作用到某函数的定义域上，并在李群的单位元附近对函数做泰勒展开，可得无穷小生成元对应的无穷小算符（作用在函数空间上）： $F(gx)=F(x+g prime (0)x)=F(x)+{partial F}/{partial x_i} d x_i= F(x)+ {partial F}/{partial x_i} U_{ij}(x) alpha_j$
其中 alpha_j 为李群的参数， $d x =g prime (0)x doubleright d x_i = sum{j}{}{U_{ij}(x) alpha_j}$ 。称 $U_{ij}(x){partial }/{partial x_i}$ 为参数 alpha_j 对应的无穷小算符。可以证明无穷小算符与无穷小生成元有相同的对易关系。
例如：
SO_3 的无穷小生成元可以写成： $matrix{3}{3}{0 {-alpha_3} {alpha_2} {alpha_3} {0} {-alpha_1} {-alpha_2} {alpha_1} 0}$ ，因此 $matrix{3}{1}{{d x_1} {d x_2} {d x_3}}=matrix{3}{1}{{x_3 alpha_2 - x_2 alpha_3} {x_1 alpha_3 - x_3 alpha_1} {x_2 alpha_1 - x_1 alpha_2}} doubleright C_{alpha_1} = - x_3 partial /{partial x_2} + x_2 partial/{partial x_3},etc$ 。

ref:The Geometry of Physics, T.Frankel, Chapter 1
通俗地讲，流形是一个局部与欧式空间相同的拓扑空间。在流形的一部分，可以建立一个与欧式空间的一一映射，这个一一映射给出了流形上的点的局部坐标；在两个不同部分的交叠区，局部坐标间满足一定的函数关系，这个函数的微分性质就给出了流形的光滑程度。下面是流形的严格定义：
设M是一个Hausdorff空间，给定一个开集族： U_i ，且每个开集上都有一个到 bbR^n 的一一映射 phi_i ，满足：
1. forall x in M, exists U_i, x in U_i
2. phi_i 是一个同胚映射
3.在 U inter V ，映射 phi_U circ phi_V 是 C^k 类映射。
则称M为 C^k 类n维流形。
对欧式空间中嵌入的子流形，要保证上述要求得到满足，事实上最重要的是保证第二条得到满足。即要在局部建立流形上的点与欧式空间的同胚映射。假设这个流形以 $F(x)=y_0,x in R^{n+r}, y_0 in R^{r}$ 确定，则由隐函数存在定理，若Jacobi阵 ${partial F_i}/{partial x_j}$ 在某点的秩为r，则在这点附近可以建立一个到 bbR^n 的同胚映射。以 R^3 中的曲面为例，若曲面上存在“奇点”——比如尖点，那么在这点附近不可能建立一个到 bbR^2 的同胚映射。大概意思就是这样，更严格的讨论我也不知道=.=
切空间与抗变向量（contravariant vector）
对抗变向量的经典定义是在坐标变换时分量的变换公式满足抗变形式的一组量。即： (X^i_U)=(X^1_U,X^2_U,.....X^n_U) 满足： $X^i_V={partial x^i_V}/{partial x^j_U}X^j_U$ ，其中 x_U,x_V 为两套不同的坐标。
对于流形上一点的切向量，一般采用算符定义。以欧式空间为例，对于一个定义其上的可微函数，它在 x_0 点沿某个切向量 (v_1,v_2...v_n) 的方向导数为 $v_i {partial f}/{partial{x_i}}$ ，好像是将一个算符: $v_i {partial}/{partial x_i}$ 作用在上一样。对于一般的抽象流形，切向量不再能像欧式空间一样直观的表示出来，但是仍然可以采用这样的算符定义：
流形M上一点 x_0 处的切向量 X_P 定义为： $X_p(f):=X_{p i}{partial f}/{partial{x_i}}$ 。
由这个定义可以看到，切向量 X_p 可以看做是 $partial/{partial x_i}$ 的线性组合，即 $partial/{partial x_i} , i=1,2,....n$ 构成了切空间的一组基，称为坐标基或坐标框架。很容易证明，当基变换时，切向量的分量 $X_{p i}$ 满足抗变向量的变换公式。
对偶空间与余切向量
ref:The Geometry of Physics, T.Frankel, Chapter 2 线性空间的对偶空间是定义在线性空间上的所有线性函数构成的一个函数空间。具体而言，就是： f:V right bbR or bbC 满足 f(av+bw)=af(v)+bf(w) ，容易证明，这样的函数空间满足线性空间的公理。
对流形上某点的切空间来说，其对偶空间被称为余切空间。定义余切向量 df:df(X_p)=X_p(f) 。显然，是切向量的线性函数。简单验证可知:\\ $d x_i (e_j) = delta_{ij} doubleright df(X_p) = X_{p i} {partial f}/{partial x_i} = {partial f}/{partial x_i} d x_i (X_p)$
这意味着可以用 d x_i i=1,2, ......n 作为余切空间的一组基来展开余切向量，与之对应的分量 ${partial f}/{partial x_i}$ 在坐标变换时满足所谓的胁变： ${partial f}/{partial x^i_V} = {partial f}/{partial x^j_U}{partial x^j_U}/{partial x_i_V}$ ，因而又被称为胁变矢量(covariant vector)。
矢量的标量积与度规张量 对切空间E上的矢量，可以引入标量积： <,>:E * E right bbR ，满足：
1.双线性： <av+bw,u> = a<v,u>+b<w,u> , <v,aw+bu> = a<v,w>+ b<v,u>
2.交换对称: <v,w> = <w,v>
3.非迷向( 即与所有向量正交的向量只有0向量): forall v in E,<v,w> =0 doubleright w=0
与通常意义上的内积类似。但是内积要求正定，这里不做要求。对于流形上切空间的标量积，将量: $g_{ij} = <e_i , e_j>$ 称为流形的度规张量。张量的严格定义见下一节。度规张量可以是任何满足上述标量积条件的标量积定义出来的，对于 bbR^3 中的流形，也常采用一般欧式度规诱导出来的度规。
例如对球极坐标，根据定义： $g_{rr}=<e_r,e_r> =<e_1 {partial x}/{partial r} + e_2 {partial y}/{partial r} + e_3 {partial z}/{partial r},e_1 {partial x}/{partial r} + e_2 {partial y}/{partial r} + e_3 {partial z}/{partial r}> = ({partial x}/{partial r})^2 +({partial y}/{partial r})^2 +({partial z}/{partial r})^2 = 1, g_{theta theta} = r^2 , g_{phi phi} = r^2 sin{theta}, g_{r theta}=0 etc$
根据定义，当固定标量积其中一个矢量时，即 <v, > ，对于矢量来说这是一个线性函数。也就是说 <v, > 是余切空间中的一个余切向量，用 d x_i 来展开，则其第i个分量为: $v_i =<v,e_i> =<v^j e_j, e_i> =g_{ji}v^j$ 。于是我们得到了一个切向量的“余切向量版本”——分量 $v_i =g_{ij}v^j$ 在坐标变换时按照胁变矢量变换。度规张量起到了所谓“指标升降”的作用。
在流形中，余切向量由于满足胁变变换，使用起来更为方便。因此更常使用余切向量，而要得到其切向量形式，只需乘以度规的逆即可： $v^j= g^{ij}v_i$ 例如，在欧式空间中，函数的梯度方向是其下降最快的方向，并且满足： X_p(f)=<nebla f, X_p> doubleright df = <nebla f, > ，而的分量仅为 ${partial f}/{partial x_i}$ ，很容易写出。由此可得 nebla f 的切向量形式： $(nebla f)^i =g^{ij}{partial f}/{partial x_j}$ 。
张量
ref:The Geometry of Physics,T.Frankel,Chapter 2
这里采用多线性函数来定义张量。
胁变张量(covariant tensor)：定义在 E*E....*E=E^n 的多线性函数，称为n阶胁变张量。 $Q(v_1 ,v_2 ,....v_r)=Q_{i1 i2 ....ir}v^{i1}_1 v^{i2}_2 ....v^{ir}_r$ ,其中 $Q_{i1 i2 .... ir} =Q(partial_{i1},partial_{i2},...partial_{ir})$ 。容易验证分量确实是按照胁变变换的。
抗变张量(contravariant tensor):定义在 E prime * E prime .....E prime = E^n prime 上的多线性函数，称为n阶抗变张量。 $T(alpha_1 ,alpha_2 ,...alpha_r)=a_{{i1},1} a_{{i2},2} ...a_{{ir},r}T^{i1 i2 ... ir}$ ,其中 $T^{i1 i2 ... ir} =T(d x_{i1} ,d x_{i2} ,....d x_{ir})$ 。容易验证分量确实是按照抗变变换的。
混合张量(mixed tensor):定义在 E prime *E prime *...E prime * E*E...E=E^r prime *E^s 上的多线性函数，称为r-s阶混合张量。完全仿照上述定义，不再赘述。

ref:The Geometry of Physics, T.Frankel, Chapter 2
wiki好多公式打不出来，我决定用传照片了=.= 外代数与外微分

联络与曲率
ref:The Geometry of Physics,T.Frankel,Chapter 8&9
首先从欧式空间中的二维曲面来看联络系数的几何意义。

再将这推广到抽象流形上：

对于流形，如前所述，使用协变张量和形式来描述数学更简洁，因此下面引入嘉当的协变微分：

作为例子，可以方便的推导联络系数的变换公式：

同调
没找到好的references，也没时间看。。。
直接上结论： H_p (M) 是流形p阶同调群， b_p = dim H_p (M) p阶Betti数。流形Euler示性数是拓扑不变量，其定义为： $chi (M)= sum{p}{}{(-1)^p b_p}$ 。
常用结论： H_n (S^n) =Z, H_0 (S^n) =Z, H_k (S^n) =0 。同伦
Euler示性数只是流形拓扑性质的一个粗略度量，同伦则给出了对流形拓扑性质更精细的度量。
这里只考虑流形上路径的同伦。
流形上的路径是一个映射，连接流形上两点: f:[0,1]t right M, f(0)=x_0, f(1)=x_1 。若路径的起点和终点重合，则称为一个圈。两个圈可以定义乘法运算，得到一个合成的圈： alpha (t)beta (t)= {lbrace}{matrix{2}{2}{{alpha(2t)}{0<=t<1/2}{beta(2t-1)}{1/2<=t<=1}}} 。
对于所有共有起点的圈，若一个圈通过连续变形，可以变为另一个圈，则称这两个圈属于同一个同伦类。将每个同伦类视为一个代表元，恒等映射对应的路径（即公共点本身）所在的同伦类为单位元，两个同伦类之间的乘法定义为任意从两者中选出的代表元乘积所在的同伦类，则这些代表元构成一个群，称为流形的第一同伦群 pi_1(M) 。可以证明第一同伦群与基点的选取无关。
简单地说，第一同伦群反应了流形上是否有“洞”，即是否单连通。
类似的， pi_0 (M) 则反应了流形是否连通。